Производная x*e^(x/2)

Вы ввели

   x
   -
   2
x*E 

$$e^{\frac{x}{2}} x$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{\frac{x}{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

   В результате: $e^{\frac{x}{2}} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \left(x + 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \left(x + 2\right)$

Первая производная

        x
 x      -
 -      2
 2   x*e 
E  + ----
      2  

$$e^{\frac{x}{2}} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$$

Вторая производная

         x
         -
/    x\  2
|1 + -|*e 
\    4/   

$$\left(\frac{x}{4} + 1\right) e^{\frac{x}{2}}$$

Третья производная

         x
         -
         2
(6 + x)*e 
----------
    8     

$$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{8} \left(x + 6\right)$$