Производная x*cos(pi*x)

Вы ввели

x*cos(pi*x)

$$x \cos{\left (\pi x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (\pi x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\pi x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $- \pi \sin{\left (\pi x \right )}$

   В результате: $- \pi x \sin{\left (\pi x \right )} + \cos{\left (\pi x \right )}$

---

Ответ:

$- \pi x \sin{\left (\pi x \right )} + \cos{\left (\pi x \right )}$

Первая производная

-pi*x*sin(pi*x) + cos(pi*x)

$$- \pi x \sin{\left (\pi x \right )} + \cos{\left (\pi x \right )}$$

Вторая производная

-pi*(2*sin(pi*x) + pi*x*cos(pi*x))

$$- \pi \left(\pi x \cos{\left (\pi x \right )} + 2 \sin{\left (\pi x \right )}\right)$$

Третья производная

  2                                
pi *(-3*cos(pi*x) + pi*x*sin(pi*x))

$$\pi^{2} \left(\pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 3 \cos{\left (\pi x \right )}\right)$$