Производная x*cos(x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     2   
x*cos (x)
xcos2(x)x \cos^{2}{\left (x \right )}
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    g(x)=cos2(x)g{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=cos(x)u = \cos{\left (x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcos(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}:

      1. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      2sin(x)cos(x)- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

    В результате: 2xsin(x)cos(x)+cos2(x)- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}

  2. Теперь упростим:

    xsin(2x)+12cos(2x)+12- x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}


Ответ:

xsin(2x)+12cos(2x)+12- x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}

График
02468-8-6-4-2-1010-2020
Первая производная [src]
   2                       
cos (x) - 2*x*cos(x)*sin(x)
2xsin(x)cos(x)+cos2(x)- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}
Вторая производная [src]
  /     2           2                     \
2*\x*sin (x) - x*cos (x) - 2*cos(x)*sin(x)/
2(xsin2(x)xcos2(x)2sin(x)cos(x))2 \left(x \sin^{2}{\left (x \right )} - x \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)
Третья производная [src]
  /       2           2                       \
2*\- 3*cos (x) + 3*sin (x) + 4*x*cos(x)*sin(x)/
2(4xsin(x)cos(x)+3sin2(x)3cos2(x))2 \left(4 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 3 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 \cos^{2}{\left (x \right )}\right)