Производная x*cos(x)^(23)

Вы ввели

     23   
x*cos  (x)

$$x \cos^{23}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \cos^{23}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{23}$ получим $23 u^{22}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 23 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}$

   В результате: $- 23 x \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + \cos^{23}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 23 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{22}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(- 23 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{22}{\left (x \right )}$

Первая производная

   23              22          
cos  (x) - 23*x*cos  (x)*sin(x)

$$- 23 x \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + \cos^{23}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      21    /       2                                2   \
23*cos  (x)*\- x*cos (x) - 2*cos(x)*sin(x) + 22*x*sin (x)/

$$23 \left(22 x \sin^{2}{\left (x \right )} - x \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{21}{\left (x \right )}$$

Третья производная

      20    /       3               3            2                     2          \
23*cos  (x)*\- 3*cos (x) - 462*x*sin (x) + 66*sin (x)*cos(x) + 67*x*cos (x)*sin(x)/

$$23 \left(- 462 x \sin^{3}{\left (x \right )} + 67 x \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 66 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \cos^{3}{\left (x \right )}\right) \cos^{20}{\left (x \right )}$$

График