Производная x*cot(pi*x)

Вы ввели

x*cot(pi*x)

$$x \cot{\left (\pi x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (\pi x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \pi x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\pi x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\pi}{\sin^{2}{\left (\pi x \right )}}$

   В результате: $- \frac{x \left(\pi \sin^{2}{\left (\pi x \right )} + \pi \cos^{2}{\left (\pi x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (\pi x \right )} \tan^{2}{\left (\pi x \right )}} + \cot{\left (\pi x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\pi x}{\sin^{2}{\left (\pi x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (\pi x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi x}{\sin^{2}{\left (\pi x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (\pi x \right )}}$

Первая производная

     /        2      \            
pi*x*\-1 - cot (pi*x)/ + cot(pi*x)

$$\pi x \left(- \cot^{2}{\left (\pi x \right )} - 1\right) + \cot{\left (\pi x \right )}$$

Вторая производная

     /       2      \                      
2*pi*\1 + cot (pi*x)/*(-1 + pi*x*cot(pi*x))

$$2 \pi \left(\pi x \cot{\left (\pi x \right )} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

    2 /       2      \ /                   /       2      \             2      \
2*pi *\1 + cot (pi*x)/*\3*cot(pi*x) - pi*x*\1 + cot (pi*x)/ - 2*pi*x*cot (pi*x)/

$$2 \pi^{2} \left(\cot^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right) \left(- \pi x \left(\cot^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right) - 2 \pi x \cot^{2}{\left (\pi x \right )} + 3 \cot{\left (\pi x \right )}\right)$$