Производная x*cot(5*x)

Вы ввели

x*cot(5*x)

$$x \cot{\left (5 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (5 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

   В результате: $- \frac{x \left(5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )}} + \cot{\left (5 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{5 x}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5 x}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}$

Первая производная

  /          2     \           
x*\-5 - 5*cot (5*x)/ + cot(5*x)

$$x \left(- 5 \cot^{2}{\left (5 x \right )} - 5\right) + \cot{\left (5 x \right )}$$

Вторая производная

   /        2            /       2     \         \
10*\-1 - cot (5*x) + 5*x*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)/

$$10 \left(5 x \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \cot{\left (5 x \right )} - \cot^{2}{\left (5 x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

   /       2     \ /                     2            /       2     \\
50*\1 + cot (5*x)/*\3*cot(5*x) - 10*x*cot (5*x) - 5*x*\1 + cot (5*x)//

$$50 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(- 5 x \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) - 10 x \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 3 \cot{\left (5 x \right )}\right)$$