Производная x*cot(x)-1

Вы ввели

x*cot(x) - 1

$$x \cot{\left (x \right )} - 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x \cot{\left (x \right )} - 1$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}$

   2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

   В результате: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

  /        2   \         
x*\-1 - cot (x)/ + cot(x)

$$x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /        2        /       2   \       \
2*\-1 - cot (x) + x*\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /             /       2   \          2   \
2*\1 + cot (x)/*\3*cot(x) - x*\1 + cot (x)/ - 2*x*cot (x)/

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$