Производная x*cot(x)^(2)

Вы ввели

     2   
x*cot (x)

$$x \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{2 x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   2        /          2   \       
cot (x) + x*\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)

$$x \left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2   \ /              /       2   \          2   \
2*\1 + cot (x)/*\-2*cot(x) + x*\1 + cot (x)/ + 2*x*cot (x)/

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /         2             3          /       2   \       \
2*\1 + cot (x)/*\3 + 9*cot (x) - 4*x*cot (x) - 8*x*\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 8 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 4 x \cot^{3}{\left (x \right )} + 9 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3\right)$$