Производная функции/ От одной переменной/ y' = (x*cot(x)^(2))'

Производная x*cot(x)^(2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     2   
x*cot (x)
xcot⁡2(x)x \cot^{2}{\left (x \right )}
Подробное решение

  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    g(x)=cot⁡2(x)g{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=cot⁡(x)u = \cot{\left (x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

      В результате последовательности правил:

      −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

    В результате: −2x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+cot⁡2(x)- \frac{2 x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot^{2}{\left (x \right )}

  2. Теперь упростим:

    −2xcos⁡(x)sin⁡3(x)−1+1sin⁡2(x)- \frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

Ответ:

−2xcos⁡(x)sin⁡3(x)−1+1sin⁡2(x)- \frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-500000010000000
Первая производная [src]
   2        /          2   \       
cot (x) + x*\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)
x(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)+cot⁡2(x)x \left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
  /       2   \ /              /       2   \          2   \
2*\1 + cot (x)/*\-2*cot(x) + x*\1 + cot (x)/ + 2*x*cot (x)/
2(cot⁡2(x)+1)(x(cot⁡2(x)+1)+2xcot⁡2(x)−2cot⁡(x))2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )}\right)
Упростить
Третья производная [src]
  /       2   \ /         2             3          /       2   \       \
2*\1 + cot (x)/*\3 + 9*cot (x) - 4*x*cot (x) - 8*x*\1 + cot (x)/*cot(x)/
2(cot⁡2(x)+1)(−8x(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−4xcot⁡3(x)+9cot⁡2(x)+3)2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 8 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 4 x \cot^{3}{\left (x \right )} + 9 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3\right)
Упростить