Производная x*log(1/x)

Вы ввели

     /1\
x*log|-|
     \x/

$$x \log{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{1}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x}$

   В результате: $\log{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1$

---

Ответ:

$\log{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1$

Первая производная

        /1\
-1 + log|-|
        \x/

$$\log{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1$$

Вторая производная

-1 
---
 x 

$$- \frac{1}{x}$$

Третья производная

1 
--
 2
x 

$$\frac{1}{x^{2}}$$