Производная x*log(1-x)

Вы ввели

x*log(1 - x)

$$x \log{\left (- x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (- x + 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{- x + 1}$

   В результате: $- \frac{x}{- x + 1} + \log{\left (- x + 1 \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x - 1} \left(x + \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x - 1} \left(x + \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )}\right)$

Первая производная

    x               
- ----- + log(1 - x)
  1 - x             

$$- \frac{x}{- x + 1} + \log{\left (- x + 1 \right )}$$

Вторая производная

      x   
2 - ------
    -1 + x
----------
  -1 + x  

$$\frac{- \frac{x}{x - 1} + 2}{x - 1}$$

Третья производная

      2*x  
-3 + ------
     -1 + x
-----------
         2 
 (-1 + x)  

$$\frac{\frac{2 x}{x - 1} - 3}{\left(x - 1\right)^{2}}$$