Производная x*log(x+1)-1

Вы ввели

x*log(x + 1) - 1

$$x \log{\left (x + 1 \right )} - 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x \log{\left (x + 1 \right )} - 1$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x + 1$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x + 1}$

      В результате: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}$

   2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

   В результате: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x + 1} \left(x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x + 1} \left(x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

Первая производная

  x               
----- + log(x + 1)
x + 1             

$$\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}$$

Вторая производная

      x  
2 - -----
    1 + x
---------
  1 + x  

$$\frac{- \frac{x}{x + 1} + 2}{x + 1}$$

Третья производная

      2*x 
-3 + -----
     1 + x
----------
        2 
 (1 + x)  

$$\frac{\frac{2 x}{x + 1} - 3}{\left(x + 1\right)^{2}}$$