Производная x*5^x^2

Вы ввели

   / 2\
   \x /
x*5    

$$5^{x^{2}} x$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = 5^{x^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cdot 5^{x^{2}} x \log{\left (5 \right )}$

   В результате: $2 \cdot 5^{x^{2}} x^{2} \log{\left (5 \right )} + 5^{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $5^{x^{2}} \left(x^{2} \log{\left (25 \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$5^{x^{2}} \left(x^{2} \log{\left (25 \right )} + 1\right)$

Первая производная

 / 2\      / 2\          
 \x /      \x /  2       
5     + 2*5    *x *log(5)

$$2 \cdot 5^{x^{2}} x^{2} \log{\left (5 \right )} + 5^{x^{2}}$$

Вторая производная

     / 2\                         
     \x / /       2       \       
2*x*5    *\3 + 2*x *log(5)/*log(5)

$$2 \cdot 5^{x^{2}} x \left(2 x^{2} \log{\left (5 \right )} + 3\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

   / 2\                                         
   \x / /       4    2          2       \       
2*5    *\3 + 4*x *log (5) + 12*x *log(5)/*log(5)

$$2 \cdot 5^{x^{2}} \left(4 x^{4} \log^{2}{\left (5 \right )} + 12 x^{2} \log{\left (5 \right )} + 3\right) \log{\left (5 \right )}$$