Производная x*sec(x)^(2)

Вы ввели

     2   
x*sec (x)

$$x \sec^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sec^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sec{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \sec{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

   В результате: $\frac{2 x \sec{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x \tan{\left (x \right )} + 1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x \tan{\left (x \right )} + 1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   2             2          
sec (x) + 2*x*sec (x)*tan(x)

$$2 x \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

     2    /             /       2   \          2   \
2*sec (x)*\2*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/

$$2 \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan{\left (x \right )}\right) \sec^{2}{\left (x \right )}$$

Третья производная

     2    /         2             3          /       2   \       \
2*sec (x)*\3 + 9*tan (x) + 4*x*tan (x) + 8*x*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 \left(8 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 4 x \tan^{3}{\left (x \right )} + 9 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) \sec^{2}{\left (x \right )}$$