Производная x*sin(a/x)

Вы ввели

     /a\
x*sin|-|
     \x/

$$x \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{a}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{a}{x^{2}} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}$

   В результате: $- \frac{a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$

Первая производная

       /a\         
  a*cos|-|         
       \x/      /a\
- -------- + sin|-|
     x          \x/

$$- \frac{a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Вторая производная

  2    /a\ 
-a *sin|-| 
       \x/ 
-----------
      3    
     x     

$$- \frac{a^{2}}{x^{3}} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Третья производная

   /                /a\\
   |           a*cos|-||
 2 |     /a\        \x/|
a *|3*sin|-| + --------|
   \     \x/      x    /
------------------------
            4           
           x            

$$\frac{a^{2}}{x^{4}} \left(\frac{a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + 3 \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}\right)$$