Производная x*sin(a*x)

Вы ввели

x*sin(a*x)

$$x \sin{\left (a x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (a x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = a x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      В результате последовательности правил:

      $a \cos{\left (a x \right )}$

   В результате: $a x \cos{\left (a x \right )} + \sin{\left (a x \right )}$

---

Ответ:

$a x \cos{\left (a x \right )} + \sin{\left (a x \right )}$

Первая производная

a*x*cos(a*x) + sin(a*x)

$$a x \cos{\left (a x \right )} + \sin{\left (a x \right )}$$

Вторая производная

a*(2*cos(a*x) - a*x*sin(a*x))

$$a \left(- a x \sin{\left (a x \right )} + 2 \cos{\left (a x \right )}\right)$$

Третья производная

  2                            
-a *(3*sin(a*x) + a*x*cos(a*x))

$$- a^{2} \left(a x \cos{\left (a x \right )} + 3 \sin{\left (a x \right )}\right)$$