Производная x*sin(log(x))

Вы ввели

x*sin(log(x))

$$x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$

   В результате: $\sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} \sin{\left (\log{\left (x \right )} + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} \sin{\left (\log{\left (x \right )} + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

cos(log(x)) + sin(log(x))

$$\sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

-sin(log(x)) + cos(log(x))
--------------------------
            x             

$$\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

-2*cos(log(x))
--------------
       2      
      x       

$$- \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$