Производная x*sin(x/2)

Вы ввели

     /x\
x*sin|-|
     \2/

$$x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате: $\frac{x}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

Первая производная

     /x\         
x*cos|-|         
     \2/      /x\
-------- + sin|-|
   2          \2/

$$\frac{x}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

       /x\         
  x*sin|-|         
       \2/      /x\
- -------- + cos|-|
     4          \2/

$$- \frac{x}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

 /     /x\        /x\\ 
-|6*sin|-| + x*cos|-|| 
 \     \2/        \2// 
-----------------------
           8           

$$- \frac{1}{8} \left(x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 6 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$