Производная x*sin(x^2)

Вы ввели

     / 2\
x*sin\x /

$$x \sin{\left (x^{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x^{2} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} \right )}$

   В результате: $2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}$

---

Ответ:

$2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}$

Первая производная

   2    / 2\      / 2\
2*x *cos\x / + sin\x /

$$2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}$$

Вторая производная

    /     / 2\      2    / 2\\
2*x*\3*cos\x / - 2*x *sin\x //

$$2 x \left(- 2 x^{2} \sin{\left (x^{2} \right )} + 3 \cos{\left (x^{2} \right )}\right)$$

Третья производная

  /     / 2\       2    / 2\      4    / 2\\
2*\3*cos\x / - 12*x *sin\x / - 4*x *cos\x //

$$2 \left(- 4 x^{4} \cos{\left (x^{2} \right )} - 12 x^{2} \sin{\left (x^{2} \right )} + 3 \cos{\left (x^{2} \right )}\right)$$