Производная x*(sin(x))^2

Вы ввели

     2   
x*sin (x)

$$x \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x \sin{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

---

Ответ:

$x \sin{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

Первая производная

   2                       
sin (x) + 2*x*cos(x)*sin(x)

$$2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /     2           2                     \
2*\x*cos (x) - x*sin (x) + 2*cos(x)*sin(x)/

$$2 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2           2                       \
2*\- 3*sin (x) + 3*cos (x) - 4*x*cos(x)*sin(x)/

$$2 \left(- 4 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$