Производная x*sin(x)^(3)

Вы ввели

     3   
x*sin (x)

$$x \sin^{3}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $3 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{3}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(3 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{2}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(3 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{2}{\left (x \right )}$

Первая производная

   3             2          
sin (x) + 3*x*sin (x)*cos(x)

$$3 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{3}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2             2                     \       
3*\- x*sin (x) + 2*x*cos (x) + 2*cos(x)*sin(x)/*sin(x)

$$3 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

  /       3             3           2                    2          \
3*\- 3*sin (x) + 2*x*cos (x) + 6*cos (x)*sin(x) - 7*x*sin (x)*cos(x)/

$$3 \left(- 7 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 x \cos^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin^{3}{\left (x \right )} + 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$