Производная функции/ От одной переменной/ y' = (x*sin(x)^(3))'

Производная x*sin(x)^(3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     3   
x*sin (x)
xsin⁡3(x)x \sin^{3}{\left (x \right )}
Подробное решение

  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    g(x)=sin⁡3(x)g{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=sin⁡(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u3u^{3} получим 3u23 u^{2}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      3sin⁡2(x)cos⁡(x)3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

    В результате: 3xsin⁡2(x)cos⁡(x)+sin⁡3(x)3 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{3}{\left (x \right )}

  2. Теперь упростим:

    (3xcos⁡(x)+sin⁡(x))sin⁡2(x)\left(3 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{2}{\left (x \right )}

Ответ:

(3xcos⁡(x)+sin⁡(x))sin⁡2(x)\left(3 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{2}{\left (x \right )}

График
02468-8-6-4-2-1010-2020
Первая производная [src]
   3             2          
sin (x) + 3*x*sin (x)*cos(x)
3xsin⁡2(x)cos⁡(x)+sin⁡3(x)3 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{3}{\left (x \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
  /       2             2                     \       
3*\- x*sin (x) + 2*x*cos (x) + 2*cos(x)*sin(x)/*sin(x)
3(−xsin⁡2(x)+2xcos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x))sin⁡(x)3 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )}
Упростить
Третья производная [src]
  /       3             3           2                    2          \
3*\- 3*sin (x) + 2*x*cos (x) + 6*cos (x)*sin(x) - 7*x*sin (x)*cos(x)/
3(−7xsin⁡2(x)cos⁡(x)+2xcos⁡3(x)−3sin⁡3(x)+6sin⁡(x)cos⁡2(x))3 \left(- 7 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 x \cos^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin^{3}{\left (x \right )} + 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\right)
Упростить