Производная x*tan(3*x)

Вы ввели

x*tan(3*x)

$$x \tan{\left (3 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (3 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{3}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}}$

   В результате: $\frac{x}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}} \left(3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) + \tan{\left (3 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6 x + \sin{\left (6 x \right )}}{\cos{\left (6 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{6 x + \sin{\left (6 x \right )}}{\cos{\left (6 x \right )} + 1}$

Первая производная

  /         2     \           
x*\3 + 3*tan (3*x)/ + tan(3*x)

$$x \left(3 \tan^{2}{\left (3 x \right )} + 3\right) + \tan{\left (3 x \right )}$$

Вторая производная

  /       2            /       2     \         \
6*\1 + tan (3*x) + 3*x*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)/

$$6 \left(3 x \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \tan{\left (3 x \right )} + \tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

   /       2     \ /  /       2     \          2                \
54*\1 + tan (3*x)/*\x*\1 + tan (3*x)/ + 2*x*tan (3*x) + tan(3*x)/

$$54 \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (3 x \right )} + \tan{\left (3 x \right )}\right)$$