Производная x*(tan(x))^2

Вы ввели

     2   
x*tan (x)

$$x \tan^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате: $\frac{2 x \tan{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \tan^{2}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \tan^{2}{\left (x \right )}$

Первая производная

   2        /         2   \       
tan (x) + x*\2 + 2*tan (x)/*tan(x)

$$x \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2   \ /             /       2   \          2   \
2*\1 + tan (x)/*\2*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /         2             3          /       2   \       \
2*\1 + tan (x)/*\3 + 9*tan (x) + 4*x*tan (x) + 8*x*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(8 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 4 x \tan^{3}{\left (x \right )} + 9 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right)$$