Производная x*x/(x+2)

Вы ввели

 x*x 
-----
x + 2

$$\frac{x x}{x + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- x^{2} + 2 x \left(x + 2\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(x + 4\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(x + 4\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}$

Первая производная

      2           
     x        2*x 
- -------- + -----
         2   x + 2
  (x + 2)         

$$- \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 2}$$

Вторая производная

  /        2           \
  |       x        2*x |
2*|1 + -------- - -----|
  |           2   2 + x|
  \    (2 + x)         /
------------------------
         2 + x          

$$\frac{1}{x + 2} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x + 2} + 2\right)$$

Третья производная

  /         2           \
  |        x        2*x |
6*|-1 - -------- + -----|
  |            2   2 + x|
  \     (2 + x)         /
-------------------------
                2        
         (2 + x)         

$$\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- \frac{6 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{12 x}{x + 2} - 6\right)$$