Производная x*x-log(x+1)

Вы ввели

x*x - log(x + 1)

$$x x - \log{\left (x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x x - \log{\left (x + 1 \right )}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $2 x$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x + 1$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x + 1}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x + 1}$

   В результате: $2 x - \frac{1}{x + 1}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x + 1} \left(2 x \left(x + 1\right) - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x + 1} \left(2 x \left(x + 1\right) - 1\right)$

Первая производная

    1        
- ----- + 2*x
  x + 1      

$$2 x - \frac{1}{x + 1}$$

Вторая производная

       1    
2 + --------
           2
    (1 + x) 

$$2 + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  -2    
--------
       3
(1 + x) 

$$- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$