Производная x^9*cot(x)

Вы ввели

 9       
x *cot(x)

$$x^{9} \cot{\left(x \right)}$$

d / 9       \
--\x *cot(x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} x^{9} \cot{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{9}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{9}$ получим $9 x^{8}$

   $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $- \frac{x^{9} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 9 x^{8} \cot{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $x^{8} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{9}{\tan{\left(x \right)}}\right)$

---

Ответ:

$x^{8} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{9}{\tan{\left(x \right)}}\right)$

Первая производная

 9 /        2   \      8       
x *\-1 - cot (x)/ + 9*x *cot(x)

$$x^{9} \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + 9 x^{8} \cot{\left(x \right)}$$

Вторая производная

   7 /                /       2   \    2 /       2   \       \
2*x *\36*cot(x) - 9*x*\1 + cot (x)/ + x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{7} \left(x^{2} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - 9 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 36 \cot{\left(x \right)}\right)$$

Третья производная

   6 /                   /       2   \    3 /       2   \ /         2   \       2 /       2   \       \
2*x *\252*cot(x) - 108*x*\1 + cot (x)/ - x *\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + 27*x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{6} \left(- x^{3} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 27 x^{2} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - 108 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 252 \cot{\left(x \right)}\right)$$

График