Производная x^2/(1-x)

Вы ввели

   2 
  x  
-----
1 - x

$$\frac{x^{2}}{- x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 2 x \left(- x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(- x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(- x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    2           
   x        2*x 
-------- + -----
       2   1 - x
(1 - x)         

$$\frac{x^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{- x + 1}$$

Вторая производная

  /          2            \
  |         x        2*x  |
2*|-1 - --------- + ------|
  |             2   -1 + x|
  \     (-1 + x)          /
---------------------------
           -1 + x          

$$\frac{1}{x - 1} \left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{4 x}{x - 1} - 2\right)$$

Третья производная

  /         2            \
  |        x        2*x  |
6*|1 + --------- - ------|
  |            2   -1 + x|
  \    (-1 + x)          /
--------------------------
                2         
        (-1 + x)          

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{12 x}{x - 1} + 6\right)$$