Производная x^2/(x+1)

Вы ввели

   2 
  x  
-----
x + 1

$$\frac{x^{2}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

      2           
     x        2*x 
- -------- + -----
         2   x + 1
  (x + 1)         

$$- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}$$

Вторая производная

  /        2           \
  |       x        2*x |
2*|1 + -------- - -----|
  |           2   1 + x|
  \    (1 + x)         /
------------------------
         1 + x          

$$\frac{1}{x + 1} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x + 1} + 2\right)$$

Третья производная

  /         2           \
  |        x        2*x |
6*|-1 - -------- + -----|
  |            2   1 + x|
  \     (1 + x)         /
-------------------------
                2        
         (1 + x)         

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \frac{6 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{12 x}{x + 1} - 6\right)$$