Производная (x^2-25)/x

Вы ввели

 2     
x  - 25
-------
   x   

$$\frac{x^{2} - 25}{x}$$

  / 2     \
d |x  - 25|
--|-------|
dx\   x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 25}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} - 25$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 25$ почленно:

      1. Производная постоянной $-25$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $1 + \frac{25}{x^{2}}$

---

Ответ:

$1 + \frac{25}{x^{2}}$

Первая производная

     2     
    x  - 25
2 - -------
        2  
       x   

$$2 - \frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /            2\
  |     -25 + x |
2*|-1 + --------|
  |         2   |
  \        x    /
-----------------
        x        

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{x^{2} - 25}{x^{2}}\right)}{x}$$

Третья производная

  /           2\
  |    -25 + x |
6*|1 - --------|
  |        2   |
  \       x    /
----------------
        2       
       x        

$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} - 25}{x^{2}}\right)}{x^{2}}$$

График