Производная (x^2-1)/x

Вы ввели

 2    
x  - 1
------
  x   

$$\frac{1}{x} \left(x^{2} - 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $1 + \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

     2    
    x  - 1
2 - ------
       2  
      x   

$$2 - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} - 1\right)$$

Вторая производная

  /           2\
  |     -1 + x |
2*|-1 + -------|
  |         2  |
  \        x   /
----------------
       x        

$$\frac{1}{x} \left(-2 + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} - 2\right)\right)$$

Третья производная

  /          2\
  |    -1 + x |
6*|1 - -------|
  |        2  |
  \       x   /
---------------
        2      
       x       

$$\frac{1}{x^{2}} \left(6 - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} - 6\right)\right)$$