Производная x^n*log(x)

Вы ввели

 n       
x *log(x)

$$x^{n} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{n}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{n}$ получим $\frac{n x^{n}}{x}$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   В результате: $\frac{n x^{n}}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{n}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $x^{n - 1} \left(n \log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$x^{n - 1} \left(n \log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

 n      n       
x    n*x *log(x)
-- + -----------
x         x     

$$\frac{n x^{n}}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{n}}{x}$$

Вторая производная

 n /            2                  \
x *\-1 + 2*n + n *log(x) - n*log(x)/
------------------------------------
                  2                 
                 x                  

$$\frac{x^{n}}{x^{2}} \left(n^{2} \log{\left (x \right )} - n \log{\left (x \right )} + 2 n - 1\right)$$

Третья производная

 n /             2    3             2                    \
x *\2 - 6*n + 3*n  + n *log(x) - 3*n *log(x) + 2*n*log(x)/
----------------------------------------------------------
                             3                            
                            x                             

$$\frac{x^{n}}{x^{3}} \left(n^{3} \log{\left (x \right )} - 3 n^{2} \log{\left (x \right )} + 3 n^{2} + 2 n \log{\left (x \right )} - 6 n + 2\right)$$