Производная x^7*cot(x)

Вы ввели

 7       
x *cot(x)

$$x^{7} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{7}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{7}$ получим $7 x^{6}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{x^{7} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 7 x^{6} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x^{6} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{7}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

---

Ответ:

$x^{6} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{7}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

Первая производная

 7 /        2   \      6       
x *\-1 - cot (x)/ + 7*x *cot(x)

$$x^{7} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + 7 x^{6} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   5 /                /       2   \    2 /       2   \       \
2*x *\21*cot(x) - 7*x*\1 + cot (x)/ + x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{5} \left(x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 7 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 21 \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

     /                             2                                                                               \
   4 |              3 /       2   \         /       2   \      3    2    /       2   \       2 /       2   \       |
2*x *\105*cot(x) - x *\1 + cot (x)/  - 63*x*\1 + cot (x)/ - 2*x *cot (x)*\1 + cot (x)/ + 21*x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{4} \left(- x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 2 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 21 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 63 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 105 \cot{\left (x \right )}\right)$$