Производная x^3/(x-2)

Вы ввели

   3 
  x  
-----
x - 2

$$\frac{x^{3}}{x - 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = x - 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(- x^{3} + 3 x^{2} \left(x - 2\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$

Первая производная

      3          2
     x        3*x 
- -------- + -----
         2   x - 2
  (x - 2)         

$$- \frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x - 2}$$

Вторая производная

    /         2            \
    |        x        3*x  |
2*x*|3 + --------- - ------|
    |            2   -2 + x|
    \    (-2 + x)          /
----------------------------
           -2 + x           

$$\frac{2 x}{x - 2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 2} + 3\right)$$

Третья производная

  /         3                     2  \
  |        x        3*x        3*x   |
6*|1 - --------- - ------ + ---------|
  |            3   -2 + x           2|
  \    (-2 + x)             (-2 + x) /
--------------------------------------
                -2 + x                

$$\frac{1}{x - 2} \left(- \frac{6 x^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{18 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{18 x}{x - 2} + 6\right)$$