Производная x^3/(x+1)

Вы ввели

   3 
  x  
-----
x + 1

$$\frac{x^{3}}{x + 1}$$

  /   3 \
d |  x  |
--|-----|
dx\x + 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

      3          2
     x        3*x 
- -------- + -----
         2   x + 1
  (x + 1)         

$$- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x + 1}$$

Вторая производная

    /        2           \
    |       x        3*x |
2*x*|3 + -------- - -----|
    |           2   1 + x|
    \    (1 + x)         /
--------------------------
          1 + x           

$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1}$$

Третья производная

  /        3                   2  \
  |       x        3*x      3*x   |
6*|1 - -------- - ----- + --------|
  |           3   1 + x          2|
  \    (1 + x)            (1 + x) /
-----------------------------------
               1 + x               

$$\frac{6 \left(- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 1\right)}{x + 1}$$

График