Производная (x^3-1)/x

Вы ввели

 3    
x  - 1
------
  x   

$$\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} + 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $2 x + \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$2 x + \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

       3    
      x  - 1
3*x - ------
         2  
        x   

$$3 x - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{3} - 1\right)$$

Вторая производная

  /      3\
2*\-1 + x /
-----------
      3    
     x     

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{3} - 2\right)$$

Третья производная

  /          3\
  |    -1 + x |
6*|1 - -------|
  |        3  |
  \       x   /
---------------
       x       

$$\frac{1}{x} \left(6 - \frac{1}{x^{3}} \left(6 x^{3} - 6\right)\right)$$