Производная x^3*cot(x)

Вы ввели

 3       
x *cot(x)

$$x^{3} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{x^{3} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 3 x^{2} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x^{2} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

---

Ответ:

$x^{2} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

Первая производная

 3 /        2   \      2       
x *\-1 - cot (x)/ + 3*x *cot(x)

$$x^{3} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + 3 x^{2} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

    /               /       2   \    2 /       2   \       \
2*x*\3*cot(x) - 3*x*\1 + cot (x)/ + x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x \left(x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 3 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                           2                                                                             \
  |            3 /       2   \        /       2   \      3    2    /       2   \      2 /       2   \       |
2*\3*cot(x) - x *\1 + cot (x)/  - 9*x*\1 + cot (x)/ - 2*x *cot (x)*\1 + cot (x)/ + 9*x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 \left(- x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 2 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 9 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 9 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$