Производная x^x*log(x)

Вы ввели

 x       
x *log(x)

$$x^{x} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   В результате: $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{x^{x}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(x^{x} + x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(x^{x} + x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

 x                         
x     x                    
-- + x *(1 + log(x))*log(x)
x                          

$$x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{x^{x}}{x}$$

Вторая производная

 x /  1    log(x)               2          2*(1 + log(x))\
x *|- -- + ------ + (1 + log(x)) *log(x) + --------------|
   |   2     x                                   x       |
   \  x                                                  /

$$x^{x} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{1}{x} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

   /                                                                         2                        \
 x |2    3                3          log(x)   3*(1 + log(x))   3*(1 + log(x))    3*(1 + log(x))*log(x)|
x *|-- + -- + (1 + log(x)) *log(x) - ------ - -------------- + --------------- + ---------------------|
   | 3    2                             2            2                x                    x          |
   \x    x                             x            x                                                 /

$$x^{x} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \log{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + \frac{3}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(3 \log{\left (x \right )} + 3\right) - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$