Производная x^x*tan(x)

Вы ввели

 x       
x *tan(x)

$$x^{x} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{x^{x}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{x}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1} \left(\log{\left (x \right )} \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{x^{x}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1} \left(\log{\left (x \right )} \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + 2\right)$

Первая производная

 x /       2   \    x                    
x *\1 + tan (x)/ + x *(1 + log(x))*tan(x)

$$x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + x^{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

 x /tan(x)               2            /       2   \                  /       2   \       \
x *|------ + (1 + log(x)) *tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*(1 + log(x)) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)|
   \  x                                                                                  /

$$x^{x} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )} + 2 \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /               2                                     /       2   \                                                                                                                        \
 x |  /       2   \                3          tan(x)   3*\1 + tan (x)/                 2 /       2   \        2    /       2   \   3*(1 + log(x))*tan(x)     /       2   \                    |
x *|2*\1 + tan (x)/  + (1 + log(x)) *tan(x) - ------ + --------------- + 3*(1 + log(x)) *\1 + tan (x)/ + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ + --------------------- + 6*\1 + tan (x)/*(1 + log(x))*tan(x)|
   |                                             2            x                                                                              x                                                |
   \                                            x                                                                                                                                             /

$$x^{x} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \tan{\left (x \right )} + 3 \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 6 \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right)$$