∫ 0 d x = C \int 0\, dx = C ∫ 0 d x = C Интеграл от нуля равен постоянной C
∫ a d x = a ∗ x + C \int a\, dx = a*x + C ∫ a d x = a ∗ x + C Интеграл от постоянной a равен этой постоянной, умноженной на x и плюс постоянная C
∫ x n d x = x n n + 1 + C \int x^{n}\, dx = \frac{x^{n}}{n + 1} + C ∫ x n d x = n + 1 x n + C при
n ≠ 1 n \ne 1 n = 1 Интеграл x в степени n (n не равна единице), равен x в степени n плюс один и все это деленное на n плюс один и все это плюс постоянная C
∫ d x x = ∫ x − 1 d x = ln ( x ) + C \int \frac{dx}{x} = \int x^{-1}\, dx = \ln{\left (x \right )} + C ∫ x d x = ∫ x − 1 d x = ln ( x ) + C Интеграл от единицы, деленной на x равен натуральному логарифму от x плюс постоянная C
∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctg ( x a ) + C \int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}{\left (\frac{x}{a} \right )} + C ∫ x 2 + a 2 d x = a 1 arctg ( a x ) + C = − 1 a arcctg ( x a ) + C = -\frac{1}{a}\operatorname{arcctg}{\left (\frac{x}{a} \right )} + C = − a 1 arcctg ( a x ) + C Интеграл от единицы, деленной на сумму x в квадрате плюс a в квадрате равен арктангенсу от x, деленному на a и все это разделено на a
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ∣ − a + x a + x ∣ + C \int \frac{dx}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a} \operatorname{ln}\left|{\frac{- a + x}{a + x}}\right| + C ∫ x 2 − a 2 d x = 2 a 1 ln a + x − a + x + C Интеграл от единицы, деленной на разницу x в квадрате минус a в квадрате равен натуральному логарифму от модуля деления x-a на x + a и весь этот логарифм делен на произведение 2a
∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − x + C \int \operatorname{ln}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{ln}\left(x\right) - x + C ∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − x + C Интеграл от натуральной логарифической функции равен произведению x на натуральный логарифм и минус переменная x
∫ d x x ln ( x ) = ln ( ln ( x ) ) + C \int \frac{dx}{x \operatorname{ln}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{ln}\left(x\right)\right) + C ∫ x ln ( x ) d x = ln ( ln ( x ) ) + C Integral от единицы, деленной на произведение x на натуральный логарифм равняется логарифму от логарифма от x - по сути получается такая сложная функция
∫ log b ( x ) d x = x log b ( x ) − log b ( e ) + C \int \operatorname{log}_{b}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{log}_{b}\left(x\right) - \operatorname{log}_{b}\left(e\right) + C ∫ log b ( x ) d x = x log b ( x ) − log b ( e ) + C Интеграл от логарифма от x по основанию b равен произведению x на логарифм от x по основанию b минус логарифм от экспоненты по основанию b
∫ e x d x = e x + C \int e^{x}\,dx = e^{x} + C ∫ e x d x = e x + C Значение интеграла от экспоненты в степени x равно самой экспоненте от x плюс константа C
∫ a x d x = a x ln ( a ) + C \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\operatorname{ln}\left(a\right)} + C ∫ a x d x = ln ( a ) a x + C Интеграл от числа a в степени x равняется a в степени x, деленное на натуральный логарифм от a
∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ( x a ) + C \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \operatorname{arcsin}\left(\frac{x}{a}\right) + C ∫ a 2 − x 2 d x = arcsin ( a x ) + C Интегральное выражение от 1 деленного на корень квадратный из разницы a в квадрате минус x в квадрате равняется арксинусу от деления x на a
∫ − d x a 2 − x 2 = arccos ( x a ) + C \int \frac{- dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \operatorname{arccos}\left(\frac{x}{a}\right) + C ∫ a 2 − x 2 − d x = arccos ( a x ) + C Этот же интеграл, но со знаком минус равен арккосинусу от деления x на a
∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec ∣ x ∣ a + C \int \frac{dx}{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec} \frac{\left|x\right|}{a} + C ∫ x x 2 − a 2 d x = a 1 arcsec a ∣ x ∣ + C
∫ d x x 2 ± a 2 = ln ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \operatorname{ln}\left| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right| + C ∫ x 2 ± a 2 d x = ln x + x 2 ± a 2 + C
∫ sin ( x ) d x = − cos ( x ) + C \int \operatorname{sin}\left(x\right)\,dx = - \operatorname{cos}\left(x\right) + C ∫ sin ( x ) d x = − cos ( x ) + C Интеграл от функции синус от x равен минус косинусу от того же x
∫ cos ( x ) d x = sin ( x ) + C \int \operatorname{cos}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sin}\left(x\right) + C ∫ cos ( x ) d x = sin ( x ) + C Интеграл от функции косинус от x равен синусу от x
∫ tg ( x ) d x = 1 2 ln ( tg 2 ( x ) + 1 ) + C \int \operatorname{tg}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + C ∫ tg ( x ) d x = 2 1 ln ( tg 2 ( x ) + 1 ) + C Интегральное от тангенса от x равно одной второй от логарифма от суммы тангенса в квадрате от x плюс один
∫ d x tg ( x ) = − 1 2 ln ( tg 2 ( x ) + 1 ) + ln ( tg ( x ) ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{tg}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}^{2}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{tg}\left(x\right)\right) + C ∫ tg ( x ) d x = − 2 1 ln ( tg 2 ( x ) + 1 ) + ln ( tg ( x ) ) + C
∫ d x cos ( x ) = − 1 2 ln ( sin ( x ) − 1 ) + 1 2 ln ( sin ( x ) + 1 ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{cos}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) -1\right) + \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{sin}\left(x\right) + 1\right) + C ∫ cos ( x ) d x = − 2 1 ln ( sin ( x ) − 1 ) + 2 1 ln ( sin ( x ) + 1 ) + C
∫ d x sin ( x ) = 1 2 ln ( cos ( x ) − 1 ) − 1 2 ln ( cos ( x ) + 1 ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right)} = \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) -1\right) - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(\operatorname{cos}\left(x\right) + 1\right) + C ∫ sin ( x ) d x = 2 1 ln ( cos ( x ) − 1 ) − 2 1 ln ( cos ( x ) + 1 ) + C
∫ d x cos 2 ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{cos}^{2}\left(x\right)} = \frac{\operatorname{sin}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C ∫ cos 2 ( x ) d x = cos ( x ) sin ( x ) + C интегралиус от 1 деленной на косинус в квадрате от x равен синусу от x, деленному на косинус от x
∫ d x sin 2 ( x ) = − cos ( x ) sin ( x ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{sin}^{2}\left(x\right)} = - \frac{\operatorname{cos}\left(x\right)}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C ∫ sin 2 ( x ) d x = − sin ( x ) cos ( x ) + C интегрализэ от единицы, деленной на синус в квадрате от x равен минус косинусу от x, деленному на синус от x
∫ tg ( x ) cos ( x ) d x = 1 cos ( x ) + C \int \frac{\operatorname{tg}\left(x\right)}{\operatorname{cos}\left(x\right)}\,dx = \frac{1}{\operatorname{cos}\left(x\right)} + C ∫ cos ( x ) tg ( x ) d x = cos ( x ) 1 + C
∫ d x sin ( x ) tg ( x ) = 1 sin ( x ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{tg}\left(x\right)} = \frac{1}{\operatorname{sin}\left(x\right)} + C ∫ sin ( x ) tg ( x ) d x = sin ( x ) 1 + C
∫ sin 2 ( x ) d x = 1 2 x − 1 2 sin ( x ) cos ( x ) + C \int \operatorname{sin}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C ∫ sin 2 ( x ) d x = 2 1 x − 2 1 sin ( x ) cos ( x ) + C
∫ cos 2 ( x ) d x = 1 2 x + 1 2 sin ( x ) cos ( x ) + C \int \operatorname{cos}^{2}\left(x\right)\,dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \operatorname{sin}\left(x\right) \operatorname{cos}\left(x\right) + C ∫ cos 2 ( x ) d x = 2 1 x + 2 1 sin ( x ) cos ( x ) + C
∫ arctg ( x ) d x = x arctg ( x ) − 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C \int \operatorname{arctg}\left(x\right)\,dx = x \operatorname{arctg}\left(x\right) - \frac{1}{2} \operatorname{ln}\left(x^{2} + 1\right) + C ∫ arctg ( x ) d x = x arctg ( x ) − 2 1 ln ( x 2 + 1 ) + C
∫ sin n ( x ) d x = − sin n − 1 ( x ) ∗ x ∗ cos ( x ) n + n − 1 n ∫ sin n − 2 ( x ) d x \int \operatorname{sin}^{n} \left(x\right)\,dx = - \frac{\operatorname{sin}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{cos}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{sin}^{n-2}\left(x\right)\,dx ∫ sin n ( x ) d x = − n sin n − 1 ( x ) ∗ x ∗ cos ( x ) + n n − 1 ∫ sin n − 2 ( x ) d x при
n ≥ 2 , n ∈ N n \geq 2, n \in \mathbb{N} n ≥ 2 , n ∈ N
∫ cos n ( x ) d x = cos n − 1 ( x ) ∗ x ∗ sin ( x ) n + n − 1 n ∫ cos n − 2 ( x ) d x \int \operatorname{cos}^{n} \left(x\right)\,dx = \frac{\operatorname{cos}^{n-1}\left(x\right)*x*\operatorname{sin}\left(x\right)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \operatorname{cos}^{n-2}\left(x\right)\,dx ∫ cos n ( x ) d x = n cos n − 1 ( x ) ∗ x ∗ sin ( x ) + n n − 1 ∫ cos n − 2 ( x ) d x при
n ≥ 2 , n ∈ N n \geq 2, n \in \mathbb{N} n ≥ 2 , n ∈ N
∫ sh ( x ) d x = ch ( x ) + C \int \operatorname{sh}\left(x\right)\,dx = \operatorname{ch}\left(x\right) + C ∫ sh ( x ) d x = ch ( x ) + C Интеграл от гипорболического синуса от x равен гиперболическому косинусу от x
∫ ch ( x ) d x = sh ( x ) + C \int \operatorname{ch}\left(x\right)\,dx = \operatorname{sh}\left(x\right) + C ∫ ch ( x ) d x = sh ( x ) + C Интеграл от гипорболического косинуса от x равен гиперболическому синусу от x
∫ d x ch 2 ( x ) = 2 th ( x 2 ) th 2 ( x 2 ) + 1 + C \int \frac{dx}{\operatorname{ch}^{2}\left(x\right)} = \frac{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{th}^{2}\left(\frac{x}{2}\right) + 1} + C ∫ ch 2 ( x ) d x = th 2 ( 2 x ) + 1 2 th ( 2 x ) + C
∫ d x sh 2 ( x ) = − 1 2 th ( x 2 ) − 1 2 th ( x 2 ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{sh}^{2}\left(x\right)} = - \frac{1}{2} \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2 \operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)} + C ∫ sh 2 ( x ) d x = − 2 1 th ( 2 x ) − 2 th ( 2 x ) 1 + C
∫ th ( x ) d x = x − ln ( th ( x ) + 1 ) + C \int \operatorname{th}\left(x\right)\,dx = x - \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + C ∫ th ( x ) d x = x − ln ( th ( x ) + 1 ) + C
∫ d x sh ( x ) = ln ( th x 2 ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{sh}\left(x\right)} = \operatorname{ln}\left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) + C ∫ sh ( x ) d x = ln ( th 2 x ) + C
∫ d x ch ( x ) = arctg ( sh ( x ) ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{ch}\left(x\right)} = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{sh}\left(x\right)\right) + C ∫ ch ( x ) d x = arctg ( sh ( x ) ) + C
∫ d x th ( x ) = x − ln ( th ( x ) + 1 ) + ln ( th ( x ) ) + C \int \frac{dx}{\operatorname{th}\left(x\right)} = x - \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right) + 1\right) + \operatorname{ln}\left(\operatorname{th}\left(x\right)\right) + C ∫ th ( x ) d x = x − ln ( th ( x ) + 1 ) + ln ( th ( x ) ) + C