Для нахождения производных от сложный функций, содержащих корень, используйте калькулятор производных на этом сайте (тем более он даёт ещё ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ). Этот калькулятор находится по ссылке:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/

Например, если надо найти производную от корня из x, умноженного на e в степени x.

Вводим в форму эту функцию sqrt(x)*exp(x) как изображено на рисунке выше.

Получим результат, когда нажмём на кнопку "Найти производную".

Результат вычисления производной от функции f(x) = sqrt(x)*exp(x):

                 x  
    ___  x      ℯ   
╲╱ x ⋅ℯ  + ───────
                 ___
            2⋅╲╱ x 

sqrt(x)*exp(x) + exp(x)/(2*sqrt(x))

Общее правило

Производную от корня очень просто посчитать.

Квадратный корень

Производная от квадратного корня из переменной x равна единицы, делённой на квадратный корень из x и делённому на два.

Введём пример для производной квадратного корня: sqrt(x^2-1)/(1-sqrt(x))

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 1}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \sqrt{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - \sqrt{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{x \left(1 - \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{2 \sqrt{x}}}{\left(1 - \sqrt{x}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 1}{2 \sqrt{x^{2} - 1} \left(- x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} + 2 x\right)}$

Ответ:

$\frac{- 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} + 1}{2 \sqrt{x^{2} - 1} \left(- x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} + 2 x\right)}$

Кубический корень

Производная от кубического корня из x равна единице, делённой на кубический корень из x в квадрате и делённому на три.

Пример производной функции, содержащей кубический корень с подробным решением:

Введём этот пример: cbrt(x^2-1)/x

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{2} - 1}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{2 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{x^{2} - 1}}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 - x^{2}}{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

Ответ:

$\frac{3 - x^{2}}{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$