Приведём примеры поверхностей второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:
| Уравнение | Канонический вид | Тип | Измерение |
|---|---|---|---|
| 2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 | z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 | Мнимый эллипсоид | Поверхность |
| x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | Двухсторонний гиперболоид | Поверхность |
| x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0 | Эллиптический параболоид | Поверхность |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 | x^2/=1/14 | Две параллельные плоскости | Поверхность |
Ислледование на определение вида будет выглядеть примерно так:
Дано ур-ние поверхности 2-порядка: $$x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y - z^{2} + 2 z + 2 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$ где $$a_{11} = 1$$ $$a_{12} = 0$$ $$a_{13} = 0$$ $$a_{14} = -1$$ $$a_{22} = 1$$ $$a_{23} = 0$$ $$a_{24} = -1$$ $$a_{33} = -1$$ $$a_{34} = 1$$ $$a_{44} = 2$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44|
|a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|
подставляем коэффициенты $$I_{1} = 1$$
|1 0| |1 0 | |1 0 |
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 -1| |0 -1|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & - \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
|1 -1| |1 -1| |-1 1|
K2 = | | + | | + | |
|-1 2 | |-1 2 | |1 2|
|1 0 -1| |1 0 -1| |1 0 -1|
| | | | | |
K3 = |0 1 -1| + |0 -1 1 | + |0 -1 1 |
| | | | | |
|-1 -1 2 | |-1 1 2 | |-1 1 2 |
$$I_{1} = 1$$ $$I_{2} = -1$$ $$I_{3} = -1$$ $$I_{4} = -1$$ $$I{\left (\lambda \right )} = - \lambda^{3} + \lambda^{2} + \lambda - 1$$ $$K_{2} = -1$$ $$K_{3} = -4$$ Т.к. $$I_{3} \neq 0$$ то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности: $$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$ или $$\lambda^{3} - \lambda^{2} - \lambda + 1 = 0$$ $$\lambda_{1} = 1$$ $$\lambda_{2} = 1$$ $$\lambda_{3} = -1$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde z^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$ $$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - \tilde z^{2} + 1 = 0$$ $$- \tilde z^{2} + \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}} = -1$$ это уравнение для типа двусторонний гиперболоид
- приведено к каноническому виду